Dado que un cuadrado es el resultado de multiplicar un número por sí mismo, que una raíz de un cuadrado es el dicho número original y dada la recta de los número naturales…
Si nos preguntan qué hay más, si números naturales o números cuadrados, diremos que números porque no todos son cuadrados. En cambio, si nos preguntan cuántas raíces hay, diremos que tantas como números naturales pues cada número natural es la ráiz de un cuadrado. Pero si hay n ráices, también diremos que existen n cuadrados. Con lo cual, si hay tantas raíces como números naturales, también habrá tantos cuadrados como números naturales, lo cual choca con nuestra creencia a priori de que obviamente existen más números naturales que cuadrados. ¿Dónde está la trampa?
La trampa está en la formulación de las hipótesis.
En primer lugar si estamos considerando los números naturales debemos asumir que es un conjunto con una cantidad de elementos infinita o ilimitada. Si ahora consideramos los números naturales con raíz natural (llamos en el post cuadrados), también constituyen un conjunto de infinitos elementos.
La “lógica” no dice que si no todos los números naturales son cuadrados perfectos, este último conjunto debería ser menor que áquel, pero ¿una cantidad infinita puede ser mayor o menor que otra cantida infinita?
Si nos ceñimos a un subconjunto finito de número el razonamiento si se cumple. De igual forma si se consideran sobre un subconjutno finito de naturales, por ejemplo {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, las raizes tenemos 1 por ser raíz de 1, 2 por ser raíz de 4 y 3 por ser raíz de 9 pero el resto no por que sus cuadrados no se pueden definir sobre nuestro dominio. Así que hay menos raices que naturales.
Por tanto la trampa está en una definición poco rigurosa del problema.
ciao.
PS. esto no lo enseñaba el conde Draco en Barrio Sésamo
Publicado por belenosthebrilliant | septiembre 2, 2008, 10:23 am